Hallo, guten Morgen. Wir schauen uns gerade an, wie man in der statistischen Physik sehr

effizient beschreibt, was auf großen Skalen passiert, indem man vom mikroskopischen Modell

ausgeht und dann immer weiter vergröbert, um die Beschreibung auf immer größeren

Skalen zu bekommen. Und wir hatten das das letzte Mal demonstriert an dem Beispiel von

dem 1D Easing Modell. Das möchte ich noch mal kurz wiederholen. Wir stellen uns vor diese Spin-Kette

und wir wissen, wir bekommen zum Beispiel die Zustandssumme, indem wir über alle Konfigurationen

dieser neuen Spins in dem Fall summieren, was zwei hochneuen Konfigurationen wären. Und wir wollen

nun dafür sorgen, dass wir, sagen wir, jeden zweiten Spin herausnehmen aus der Zustandssumme,

indem wir diese Summen schon ausführen und dann bekommen wir eine freie Energie, die de facto nur

noch von der Hälfte der Spins abhängt. Und danach wollen wir den selben Schritt noch einmal durchführen

und streichen wieder jeden zweiten der verbleibenden Spins heraus. Und in dem Beispiel hier habe ich

dann nur noch drei Spins übrig, dann würde ich den Spin auch noch raus streichen und dann kann

ich noch über die verbleibenden beiden Spins am Ende summieren. Das heißt, die Idee ist eigentlich

sehr einfach. Anstatt in der Zustandssumme gleich über alle Konfigurationen zu summieren, werde ich

sukzessive einzelne Spins ausintegrieren, bis ich dann am Ende was ganz Einfaches bekomme. Und um

das noch mal klar zu machen, wir starten mit n Spins. Nach der ersten Iteration würden wir n

halbe Spins haben, zumindest wenn ich periodische Randbedingungen ansetze. Und in jedem Schritt

bekomme ich einen Faktor ein halb dazu, das heißt nach n solchen Schritten habe ich N durch 2 N Spins.

Ganz zu Beginn könnten wir die Wahrscheinlichkeit dafür angeben, irgendeine spezielle Konfiguration

zu finden und die wäre genau durch den Boltzmann Faktor gegeben. Also P von Sigma 1 bis Sigma N,

das ist E hoch minus Beta Energie dieser Konfiguration. Und nach diesen Schritten können

wir natürlich nur noch Aussagen treffen über die paar verbleibenden Spins. Das heißt, wir können

nur noch die Wahrscheinlichkeit angeben, irgendeiner Konfiguration auf diesem Gitter der

verbleibenden Spins und das sind halt entsprechend weniger. Und weil wir nun die dazwischenliegenden

Spins und die Kopplungen zwischen den Spins nicht mehr beibehalten haben, wird diese Wahrscheinlichkeit

auch nicht mehr gegeben sein durch die ursprüngliche Energiefunktion, da muss ich ja alle Spins gegeben

haben, sondern ich muss es ersetzen durch eine passende effektive freie Energie, die nur noch

definiert ist auf diesen verbleibenden Spins. Und das Ziel ist aber weiterhin, wir beschreiben

dieselbe physikalische Situation nur in einer vergröberten Sichtweise. Das bedeutet, wenn ich

jetzt die Zustandssumme ausrechne, mit dieser neuen freien Energie muss exakt dieselbe

Zustandssumme herauskommen, wie hier. Auch zum Beispiel, wenn ich ein externes Magnetfeld

anlege und mir dann berechne, wie sieht dann die mittlere Magnetisierung hier aus,

dann muss in diesem vergröberten Modell genau dasselbe sich ergeben, weil, wie gesagt,

wir beschreiben dieselbe physikalische Situation. Das ist die allgemeine Idee. Wir gehen gar nicht

über zu einer anderen Situation, sondern wir beschreiben dieselbe Situation nur vergröbert,

mit weniger Freiheitsgraden. Und wir hatten das ganz speziell gemacht für das 1D-Easing-Modell.

Da war es relativ einfach, weil es zeigte sich, wenn wir zwei dieser Bindungen, die jeweils durch

so eine Matrix beschrieben werden, zusammenfassen und dafür die Matrix quadrieren, dann kommt eine

Matrix heraus von genau derselben Gestalt wie vorher. Das heißt, wir können es wieder beschreiben

als 1D-Easing-Modell. Diese freie Energie sieht auch nicht anders aus als die ursprüngliche

Energiefunktion, bis auf die Tatsache, dass sich zum Beispiel die Kupplungskonstante geändert hat.

Die müssen wir anpassen in jedem Schritt. Das heißt, wir starteten hier mit N-Spins,

einer Kupplungskonstante K und vielleicht einem externen Magnetfeld B. Dann führen wir diese

Renommierungsgruppenschritte aus und am Ende bekommen wir eine freie Energie, die sich auch

wieder so ausdrückt wie ursprünglich die Energie des Easing-Modells, nur jetzt eben für weniger

Spins mit einer veränderten Kupplung und auch einem eventuell veränderten Magnetfeld. Wir hatten

beispielsweise diskutiert, was es mit der Kupplung auf sich hat. Wenn ich am Ende nur noch Spins

betrachte, die so weit voneinander entfernt sind, dann wissen wir schon, die werden kaum mehr

korreliert sein, deren Fluktuationen werden fast unabhängig sein, speziell wenn ihre Distanz

größer ist als die Korrelationslänge, die ich ausrechne im ursprünglichen Modell. Wie kann das